Ответы к тесту НМО на тему «Качественное исследование поведения нелинейных систем биологической кинетики второго порядка»
1. Автором книги «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» является
1) А. Пуанкаре;+
2) А.А. Андронов;
3) Л. Эйлер;
4) О. Коши;
5) П.-С. Лаплас.
2. В каких координатах строится график фазового портрета системы при качественном исследовании систем второго порядка?
1) XYt;
2) Y от Х;+
3) Y от времени;
4) Х от времени.
3. Взаимодействие какого количества биологических видов описывается системами 2-го порядка?
1) бесконечного количества видов;
2) двух видов;+
3) трех видов;
4) четырех видов.
4. Если корни характеристического уравнения действительные и отрицательные, то стационарное состояние будет
1) неустойчивый узел;
2) седло;
3) устойчивый узел;+
4) центр.
5. Если корни характеристического уравнения действительные и положительные, то стационарное состояние будет
1) неустойчивый узел;+
2) седло;
3) устойчивый узел;
4) центр.
6. Если корни характеристического уравнения действительные и разных знаков (один положительный, а другой отрицательный), то стационарное состояние будет
1) неустойчивый узел;
2) седло;+
3) устойчивый узел;
4) центр.
7. Если корни характеристического уравнения комплексные (?=a+i?) и ?<0, то стационарное состояние будет
1) неустойчивый узел;
2) седло;
3) устойчивый фокус;+
4) центр.
8. Если корни характеристического уравнения комплексные (?=a+i?) и ?>0, то стационарное состояние будет
1) неустойчивый узел;
2) неустойчивый фокус;+
3) седло;
4) центр.
9. Если корни характеристического уравнения комплексные и чисто мнимые, то стационарное состояние будет
1) неустойчивый узел;
2) седло;
3) устойчивый узел;
4) центр.+
10. Если при любых достаточно малых отклонениях от стационарного состояния система стремится вернуться в исходное стационарное состояние, то его называют
1) асимптотически устойчивым;+
2) неустойчивым;
3) устойчивым по Ляпунову;
4) устойчивым по Чебышеву.
11. Знаки перед какими членами правой части дифференциальных уравнений для систем 2-го порядка указывают на тип взаимодействия биологических видов?
1) перед переменной Y;
2) перед переменной Х;
3) перед переменными Х и Y;
4) перед слагаемым вида ХY в обоих уравнениях системы.+
12. К вопросам качественной теории дифференциальных уравнений можно отнести
1) изучение устойчивости стационарных состояний системы;+
2) поиск импульсной переходной функции;
3) поиск стационарных состояний в системе;+
4) поиск фазово-частотных характеристик.
13. Как известно, большинство динамических медицинских и биологических систем описываются
1) алгебраическими уравнениями;
2) линейными дифференциальными уравнениями;
3) нелинейными дифференциальными уравнениями;+
4) трансцендентными уравнениями;
5) функциональными уравнениями.
14. Как определить порядок системы уравнений?
1) порядок системы уравнений = (количеству уравнений системы + 1);
2) порядок системы уравнений = количеству уравнений системы;
3) порядок системы уравнений = порядку уравнения, имеющего самый высокий порядок;
4) порядок системы уравнений = порядку уравнения, имеющего самый низкий порядок;
5) порядок системы уравнений = сумме порядков уравнений системы.+
15. Какие знаки перед членами (правой части уравнений) вида Х?Y указывают на взаимодействие видов типа «конкуренция видов»?
1) « — » ,« — » в обоих уравнениях;+
2) «+» — в первом уравнении, « — » — во втором уравнении;
3) «+», «+» в обоих уравнениях;
4) «-» — в первом уравнении, « + » — во втором уравнении.
16. Какие знаки перед членами (правой части уравнений) вида Х?Y указывают на взаимодействие видов типа «симбиоз»?
1) « — » ,« — » в обоих уравнениях;
2) «+» — в первом уравнении, « — » — во втором уравнении;
3) «+», «+» в обоих уравнениях;+
4) «-» — в первом уравнении, « + » — во втором уравнении.
17. Какие знаки перед членами (правой части уравнений) вида Х?Y указывают на взаимодействие видов типа «хищник–жертва»?
1) « — » ,« — » в обоих уравнениях;
2) «+» — в первом уравнении (жертва), « — » — во втором уравнении (хищник);
3) «+», «+» в обоих уравнениях;
4) «-» — в первом уравнении(жертва), , « + » — во втором уравнении (хищник).+
18. Какие из нижеперечисленных типов взаимодействий двух видов описываются системами 2-го порядка? (отметьте самый полный ответ)
1) конкуренция видов и взаимодействие «хищник-жертва»;
2) симбиоз и конкуренция видов;
3) симбиоз, конкуренция видов и взаимодействие «хищник-жертва»;+
4) только симбиоз.
19. Какие стационарные состояние для систем 2-го порядка могут быть устойчивы (асимптотически и/или по Ляпунову)?
1) седло;
2) узел;+
3) фокус;+
4) центр.+
20. Какие типы стационарных состояний имеют системы 2-го порядка?
1) только асимптотически устойчивые;
2) только неустойчивые;
3) только устойчивые;
4) устойчивые и неустойчивые.+
21. Какое исследование поведения системы называется качественным?
1) описание поведения системы во времени без численного решения уравнений;+
2) получение численного решения системы уравнений;
3) получение численного решения системы уравнений с построением графика поведения системы во времени;
4) построение графиков правых частей уравнений во времени;
5) построения графика поведения системы во времени.
22. Какое обыкновенное дифференциальное уравнение называется линейным?
1) если неизвестная функция входит в уравнение только в первой степени;
2) если неизвестная функция и её производные входят в уравнение только в первой степени (и не перемножаются друг с другом);+
3) если производные неизвестной функции входят в уравнение только в первой степени;
4) неизвестная функция может входить в уравнение в любой степени.
23. Какое стационарное состояние для систем 2-го порядка устойчиво только по Ляпунову?
1) седло;
2) узел;
3) фокус;
4) центр.+
24. Какое стационарное состояние называют устойчивым по Ляпунову?
1) если для любого ?>0 найдется такое ?>0, что из неравенства |x0-x|<? следует неравенство |x(t)-x|< ? для любых t>0;+
2) если при незначительном отклонении от этого состояния в любом направлении значение Х не стремится вернуться в исходное стационарное состояние;
3) если при незначительном отклонении от этого состояния в любом направлении значение Х стремится вернуться в исходное стационарное состояние;
4) если при незначительном отклонении от этого состояния хотя бы в одном направлении значение Х стремится вернуться в исходное стационарное состояние.
25. Какое стационарное состояния для системы 2-го порядка всегда является неустойчивым?
1) седло;+
2) седло и узел;
3) узел и центр;
4) фокус.
26. Какое уравнение называется дифференциальным?
1) уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами);+
2) уравнение, связывающее значение производной функции только с самой функцией;
3) уравнение, связывающее значение функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами);
4) уравнение, связывающее значение функции со значениями независимой переменной и числами (параметрами).
27. Качественное исследование поведения дифференциальных уравнений 2-го порядка позволит исследовать динамику
1) взаимодействия 2-х видов типа «конкуренция»;+
2) взаимодействия 2-х видов типа «симбиоз»;+
3) взаимодействия 2-х видов типа «хищник-жертва»;+
4) численности рыб одного вида в водоеме.
28. Кем впервые была поставлена задача качественного исследования дифференциальных уравнений?
1) А. Пуанкаре;+
2) Л. Эйлер;
3) С.К. Котельников;
4) Ш. Эрмит.
29. Кто из русских ученых первым разрабатывал качественную теорию дифференциальных уравнений?
1) А.М. Ляпунов;+
2) А.Н. Колмогоров;
3) Л. Эйлер;
4) Н.И. Лобачевский.
30. Кто из советских ученых продолжил развитие качественной теории дифференциальных уравнений в 20-е годы ХХ века?
1) А.А. Андронов;+
2) А.М. Ляпунов;
3) А.Н. Колмогоров;
4) Л. Эйлер;
5) Н.И. Лобачевский.
31. Линии на фазовой плоскости, в каждой точке которых направление касательных к фазовым траекториям одинаково, называются
1) изоклинами;+
2) седлами;
3) сепаратрисами;
4) центрами.
32. Математическая модель 
описывает изменение численности видов X и Y по типу
1) «хищник-жертва»;
2) комменсализм;
3) конкуренция;+
4) симбиоз.
33. Математическая модель 
описывает изменение численности видов X и Y по типу
1) «хищник-жертва»;+
2) комменсализм;
3) конкуренция;
4) симбиоз.
34. Математическая модель 
описывает изменение численности видов X и Y по типу
1) «хищник-жертва»;
2) комменсализм;
3) конкуренция;
4) симбиоз.+
35. На пересечении каких линий находятся стационарные состояния для систем 2-го порядка?
1) на пересечении изоклин вертикальных и горизонтальных (разноименных) касательных;+
2) на пересечении изоклин вертикальных касательных;
3) на пересечении изоклин горизонтальных касательных;
4) на пересечении фазовых траекторий.
36. Перечислите особенности аналитического исследования поведения динамических систем
1) большая трудоемкость;+
2) быстрое получение информации о поведении системы в целом без численного решения дифференциальных уравнений;
3) быстрое получение численного решения дифференциальных уравнений;
4) не позволяет сразу в явном виде получить представление о поведении системы в целом.+
37. Перечислите особенности качественного исследования поведения динамических систем
1) большая трудоемкость;
2) быстрое получение информации о поведении системы в целом без численного решения дифференциальных уравнений;+
3) быстрое получение численного решения дифференциальных уравнений;+
4) не позволяет сразу в явном виде получить представление о поведении системы в целом.
38. Перечислите особенности качественного исследования поведения динамических систем
1) большая трудоемкость;
2) быстрое получение информации о поведении системы в целом без численного решения дифференциальных уравнений;+
3) быстрое получение численного решения дифференциальных уравнений;
4) не позволяет сразу в явном виде получить представление о поведении системы в целом;
5) позволяет судить о динамике исследуемых биологических популяций в различных условиях их существования.+
39. Полный портрет поведения системы
1) определяет бесчисленное множество интегральных кривых, удовлетворяющих уравнению;+
2) определяет столько интегральных кривых, сколько стационарных состояний имеется в системе;
3) определяет только две интегральных кривых;
4) определяет только одну интегральную кривую.
40. Укажите вариант, в котором все перечисленные стационарные состояния для системы 2-го порядка могут быть устойчивы по Ляпунову?
1) узел, фокус, седло;
2) узел, фокус, седло, центр;
3) узел, фокус, центр;+
4) фокус, седло.
41. Укажите вариант, в котором все перечисленные стационарные состояния системы 2-го порядка могут быть асимптотически устойчивыми
1) узел и седло;
2) узел и фокус;+
3) узел, фокус и седло;
4) узел, фокус, седло и центр.
42. Фазовая траектория, которая проходит через стационарное состояние типа «седло», и делит плоскость на две полуплоскости, направление движения фазовых траекторий в которых не совпадает (противоположно), называется
1) биссектриса;
2) изоклина;
3) сепаратриса;+
4) фокус.
43. Через какое стационарное состояние проходят сепаратрисы?
1) седло;+
2) узел;
3) фокус;
4) центр.
44. Что называется полным портретом поведения системы дифференциальных уравнений?
1) изоклины вертикальных касательных;
2) изоклины горизонтальных касательных;
3) совокупность дифференциальных кривых, удовлетворяющих системе уравнений;
4) совокупность интегральных кривых, удовлетворяющих системе уравнений.+
45. Что такоефазовые траектории?
1) график решения любого уравнения;
2) любые линии, проходящие через начало координат;
3) проекции интегральных кривых на фазовую плоскость;+
4) семейство интегральных кривых в пространстве xyt.
